Question

7．如图1，B、O、C在同一条直线上，∠AOB=α（0°＜α＜60°）．
（1）若∠BOD=90°，∠AOD=70°，∠AOE=70°，如图2，求∠EOB与∠AOB的比值；
（2）若∠BOD=∠AOE=90°，OF平分∠AOD，OG平分∠AOC，如图3，请比较∠AOF与∠GOC的大小，并求出∠FOG的度数；
（3）若∠AOM与∠AOB互余，∠BON也与∠AOB互余，请直接写出∠MON的度数（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据角的和差关系可求∠EOB与∠AOB，进一步求得它们的比值；
（2）先根据余角的定义可求∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠AOF，先根据补角的定义可求∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOG，再比较∠AOF与∠GOC的大小，根据角的和差关系可求∠FOG的度数；
（3）分4种情况进行讨论即可求解．

解答 解：（1）∵∠BOD=90°，∠AOD=70°，
∴∠AOB，90°-70°=20°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EOB=70°-20°=50°，
∠EOB与∠AOB的比值；
（2）∵∠BOD=∠AOE=90°，
∴∠AOD=90°-α，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$（90°-α），
∵∠AOC=180°-α，
∵OG平分∠AOC，
∴∠FOG=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠AOF＜∠GOC，
∴∠FOG=180°-α-$\frac{1}{2}$（90°-α）-$\frac{1}{2}$（180°-α）=45°；
（3）∵∠AOM与∠AOB互余，∠BON也与∠AOB互余，
∴∠AOM=90°-α，∠BON=90°-α，
如图①，∠MON=90°-（90°-α）=α；

如图②，∠MON=90°+（90°-α）=180°-α；

如图③，∠MON=（90°-α-α）+（90°-α）=180°-3α；

如图④，∠MON=（90°-α）-（90°-α-α）=α．

故∠MON的度数为α或180°-α或180°-3α．

点评 本题考查的是邻补角、余角和补角的概念，掌握角平分线的定义是解题的关键．