Question

1．已知△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，AE交CD于点M
（1）如图1，连接DE，求证：∠BED=45°
（2）如图2，点F在线段AC上，且∠ABF=∠BCD，BF交CD于H、交AE于G，∠EGF的角平分线交AC于N，连接DN，请探究线段AM和DN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接DE，由题意得出∠ADC=∠BDC=∠AEC=90°，证出A、C、E、D四点共圆，由圆内接四边形的性质即可得出∠BED=∠BAC=45°；
（2）连接BN，由角的互余关系得出∠GAB=∠BCD，证出∠GAB=∠ABF，得出AG=BG，证出∠AGN=∠BGN，由SAS证明△AGN≌△BGN，得出BN=AN，证出角ANB=90°，由三角形的高交于一点，得出点M在BN上，证出DA=DC，由ASA证明△ADM≌△CDB，得出AM=BC，再证明B、C、N、D四点共圆，得出∠BND=∠BCD，证出△MDN∽△MBC，得出$\frac{MC}{MN}=\frac{BC}{DN}$，证明△MNC是等腰直角三角形，得出MC=$\sqrt{2}$MN，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接DE，如图1所示：
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠ADC=∠BDC=∠AEC=90°，
∴A、C、E、D四点共圆，
∴∠BED=∠BAC=45°；
（2）解：AM=$\sqrt{2}$DN；理由如下：
连接BN，如图2所示：
∵∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠GAB+∠ABC=∠BCD+∠ABC，
∴∠GAB=∠BCD，
∵∠ABF=∠BCD，
∴∠GAB=∠ABF，
∴AG=BG，
∵GN是∠EGF的角平分线，
∴∠FGN=∠EGN，
又∵∠AGF=∠BGE，
∴∠AGN=∠BGN，
在△AGN和△BGN中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=BG}&{\;}\\{∠AGN=∠BGN}&{\;}\\{GN=GN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGN≌△BGN（SAS），
∴BN=AN，
∵∠BAC=45°，
∴∠ANB=90°，
∵三角形的高交于一点，
∴点M在BN上，
∵∠BAC=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴DA=DC，
在△ADM和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠BCD}&{\;}\\{DA=DC}&{\;}\\{∠ADC=∠BDC=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM=BC，
∵∠BNC=∠BDC=90°，
∴B、C、N、D四点共圆，
∴∠BND=∠BCD，
又∵∠DMN=∠BNC，
∴∠MDN=∠MBC，
∴△MDN∽△MBC，
∴$\frac{MC}{MN}=\frac{BC}{DN}$，
∵∠ACD=45°，∠BNC=90°，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴MC=$\sqrt{2}$MN，
∴BC=$\sqrt{2}$DN，
∴AM=$\sqrt{2}$DN．

点评 本题是相似形综合题目，考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要证明四点共圆、两次证明三角形全等以及三角形相似才能得出结论．