Question

4．问题情境：如图1，边长为16cm正方形ABCD中，E为AB边上一个动点，折叠该正方形，使D点与E点重合，点C落在点F处，折痕分别与AD、BC交于点M、N，EF与BC交于点G，连接DE交MN于点H．
自主探究：
如图2，小颖研究了点E是AB中点的情形：
（1）请直接写出线段AM的长度为6cm，△BEG的周长为32cm；
（2）猜想线段MN与DE之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设AM=x，则DM=ME=16-x，在RT△AME中利用勾股定理即可求出AM，利用△AEM∽△BGE得$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{EM}{GE}$求出BG、EG即可求出△EBG的周长．
（2）如图2中，结论MN=DE．理由如下，作NK⊥AD于K，只要证明△ADE≌△KNM即可．

解答 （1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=16，∠A=∠B=∠ADC=90°，
∵四边形MNFE是由四边形MNCD翻折得到，
∴DM=ME，∠MDC=∠MEF=90°，设AM=x，则DM=ME=16-x，
∵AE=EB=8，
在RT△AME中，∵ME²=AM²+AE²，
∴（16-x）²=x²+8²，
∴x=6，
∴AM=6，ME=10，
∵∠AEM+∠BEG=90°，∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEM=∠BGE，
∵∠A=∠B，
∴△AEM∽△BGE，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AM}{BE}$=$\frac{EM}{GE}$，
∴$\frac{8}{BG}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{10}{EG}$
∴BG=$\frac{32}{3}$，EG=$\frac{40}{3}$，
∴△EBG周长为8+$\frac{32}{3}$+$\frac{40}{3}$=32．
故答案分别为6，32．
（2）如图2中，结论MN=DE．理由如下，
作NK⊥AD于K，
∵∠KDC=∠DCN=∠DKN=90°，
∴四边形CDKN是矩形，
∴CD=KN=AD，
∵∠AED+∠ADE=90°，∠KMN+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠KMN，
在△ADE和△KNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠KMN}\\{∠A=∠MKN=90°}\\{AD=KN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△KNM，
∴DE=MN．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．