Question

6．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=α，将△ABC旋转一个角度后得到△AED，CE交AB于点N，交BD于点M．
（1）求证：M为BD的中点；
（2）若CN=CA=m，求BD的长（用含m、n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，△ABD和△ACE是等腰三角形，设∠BAE=x，根据等腰三角形的性质即可求得∠ACE=∠AEC=∠ABD=∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），进一步求得∠BMN=∠BAC=α，即可证得△BNM∽△CNA，得出$\frac{BN}{CN}$=$\frac{MN}{AN}$，进而证得△BCN∽△MNA，得出∠ABC=∠AMN，证得AM⊥BD，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）证得△CNA是等腰三角形，从而得出AN=2m•cosα，AB=$\frac{m}{cosα}$，进一步得出BN=AB-AN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，然后证得∠BNM=∠BMN，根据等角对等边证得BM=BN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，即可得出BD的长．

解答 （1）证明：将△ABC旋转一个角度后得到△AED，
则AB=AD，AC=AE，
∴△ABD和△ACE是等腰三角形，
∵∠BAC=α，设∠BAE=x，
∴∠CAE=α+x，
∵∠CAE=∠BAD=α+x，
∴∠ACE=∠AEC=∠ABD=∠ADB=$\frac{180-（α+x）}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∵∠BCM=90°-∠ACE=90°-[90°-$\frac{1}{2}$（α+x）]=$\frac{1}{2}$（α+x），
∠CBM=∠CBA+∠ABD=90°-α+90°-$\frac{1}{2}$（α+x）
在△BCM中，∠BMC=180°-∠CBM-∠BCM=190°-[90°-α+90°-$\frac{1}{2}$（α+x）]-$\frac{1}{2}$（α+x）=α，
∴∠BMN=∠BAC=α，
∵∠BNM=∠ANC，
∴△BNM∽△CNA，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{MN}{AN}$，
连接AM，
∵∠BNC=∠MNA，
∴△BCN∽△MNA，
∴∠ABC=∠AMN，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BMN+∠AMN=90°，
∴AM⊥BD，
∴M为BD的中点；

（2）解：若CN=CA=m，则△CNA是等腰三角形，
∴∠CAB=∠ANC=α，
∴∠ACE=180°-2α，
∵∠ACE=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∴180°-2α=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∴x=3α-180°，
∵AN=2m•cosα，AB=$\frac{m}{cosα}$，
∴BN=AB-AN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，
∵∠BNM=∠ANC=α，∠CMB=α，
∴∠BNM=∠BMN，
∴BM=BN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，
∴BD=2BM=2m（$\frac{1}{cosα}$-2cosα）．

点评 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等，求得三角形相似是解题的关键．