Question

10．已知：抛物线y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$（m≠0）．
（1）求此抛物线与x轴的交点个数；
（2）抛物线恒过定点A，求A点坐标；
（3）求证：随着m的变化，产生的一系列抛物线的顶点都在一条确定的函数图象上，求此函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的值即可判定结果．
（2）抛物线恒过定点A，意思就是不管m取什么值，x、y的值不发生变化，即整理后字母m的系数为0，由此即可解决问题．
（3）利用配方法求出顶点坐标，再利用配方法把顶点的纵坐标变形即可解决问题．

解答 （1）解：∵△=（m+1）²-4（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$）=m²，
∵m≠0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
（2）解：∵y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$=x²+（x+$\frac{1}{2}$）m+x+$\frac{1}{4}$，
又∵抛物线恒过定点A，
∴x+$\frac{1}{2}$=0，
∴x=-$\frac{1}{2}$，当x=-$\frac{1}{2}$时，y=0，
∴定点A坐标（-$\frac{1}{2}$，0）．
（3）证明：∵y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$=（x+$\frac{m+1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$m²，
∴顶点为（-$\frac{m+1}{2}$，-$\frac{1}{4}$m²），
∵-$\frac{1}{4}$m²=-$\frac{1}{4}$（m²+2m+1-2m-1）=-（$\frac{m+1}{2}$）²-[-（$\frac{m+1}{2}$）]-$\frac{1}{4}$，
∴顶点在函数y=-x²-x-$\frac{1}{4}$的函数图象上．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解恒过定点A的意义，灵活应用配方法解决第三个问题，题目有点难度，属于注意压轴题．