Question

7．已知，如图，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB于F，连接OE交DC于点P，则下列结论不正确的是（　　）

• A． OE∥AB
• B． BC=2DE
• C． AC•DF=DE•CD
• D． DE=$\sqrt{2}$PD

Answer 1

分析 证明BC是⊙O的切线，进而得到P是CD的中点，利用中位线定理求出OE∥AB，据此判断A正确；证明E是BC的中点，利用∠CDB是直角，据此得到BC=2DE，判断B选项正确；证明△ACD∽△EDF，即可得到AC•DF=DE•CD，判断C选项正确；只有当PE=PD时DE才等于$\sqrt{2}$PD，据此判断D选项错误．

解答 解：∵∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切线，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED，
∴P是CD的中点，
∴OP∥AB，
∴OE∥AB，
A选项正确，
∵OE∥AB，O是AC的中点，
∴E是BC的中点，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴BC=2DE，
B选项正确；
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠ADC=90°，
∵DE=CD，BC是⊙O的切线，
∴DE是⊙O的切线，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{CD}{DF}$，
∴AC•DF=DE•CD，
C选项正确．
在四边形PDFE中，我们可以证明它是矩形，而不具备证明它是正方形的条件，
∴DE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{D}^{2}}$，
只有PE=PD时DE才等于$\sqrt{2}$PD，
D选项错误，
故选D．

点评 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线长性质及三角形的中位线的运用，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理以及切线的性质，此题有一定的难度．