设直线AB与坐标轴交于两点A(x0.0).B(0.y0).以线段AB为边作菱形.使点C.D在坐标轴上.得到菱形ABCD(1)若直线AB的解析式为y=2x+3.则菱形ABCD的面积为9,(2)如图2.若直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$时.则菱形ABCD从点B出发.沿射线BC的方向以1个单位/秒的速度匀速运动.得菱形A′B′C′D.设运动时间为t秒．①用� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．设直线AB与坐标轴交于两点A（x₀，0），B（0，y₀），以线段AB为边作菱形，使点C，D在坐标轴上，得到菱形ABCD（如图1）
（1）若直线AB的解析式为y=2x+3，则菱形ABCD的面积为9；
（2）如图2，若直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$时，则菱形ABCD从点B出发，沿射线BC的方向以1个单位/秒的速度匀速运动，得菱形A′B′C′D，设运动时间为t秒．
①用含t的式子表示点B′的坐标（$\frac{1}{2}$t，$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）；
②当t为何值时，B′C=$\frac{1}{3}$BC；
（3）在（2）的条件下，过点B′作B′F⊥AD于F
①过点B′作y轴的平行线交直线CD于点E，当t为何值时，△B′EF为等腰三角形；
②当t为何值时，线段B′D=$\sqrt{5}$（直接写出t的值）

分析（1）求出菱形的对角线的长即可解决问题．
（2）①首先判断△ABC，△ACD是等边三角形，根据BB′=t，可以解决问题．
②列出方程即可解决问题，注意两种情形．
（3）①首先证明△EFB′是等边三角形，再证明EF⊥CD，根据DF=2DE列出方程即可解决问题．
②如图4中，分两种情形当B₁′在BC上时，当B₂′在BC的延长线上时分别求解即可．

解答解：（1）如图1中，

∵直线AB解析式为y=2x+3，
∴点A坐标（-$\frac{3}{2}$，0），点B坐标（0，3），
∴OA=$\frac{3}{2}$，OB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OA=3，BD=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•AC•BD=9．
故答案为9．

（2）如图2中，

①∵直线AB解析式为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BAO=$\frac{BO}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵BB′=t，
∴B′（$\frac{1}{2}$t，$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）
故答案为（$\frac{1}{2}$t，$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）．
②当CB′=$\frac{1}{3}$BC时，由题意2-t=$\frac{1}{3}$×2或t-2=$\frac{1}{3}$×2，
解得t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$，
∴t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$秒时CB′=$\frac{1}{3}$BC．

（3）①如图3中，作CK⊥AD于K．则四边形CKFB′是矩形．

∵B′E∥BD，
∴∠CB′E=∠CBO=30°，
∵B′F⊥AD，AD∥BC，
∴FB′⊥CB，
∴∠FB′C=90°，
∴∠FB′E=60°，
∵△EFB′是等腰三角形，
∴△EFB′是等边三角形，
∴∠FEB′=60°，∵∠B′EC=30°，
∴∠FEB′=90°，
在Rt△EFD中，∵∠EFD=30°，
∴DF=2DE，
∴2-t+1=2t，
∴t=1．
∴t=1时，△EFB′是等腰三角形．
②如图4中，

当B₁′在BC上时，由题意可知DF=$\sqrt{2}$，
∴2-t+1=$\sqrt{2}$，
∴t=3-$\sqrt{2}$．
当B₂′在BC的延长线上时，BB₂′=3+$\sqrt{2}$，
∴t=3+$\sqrt{2}$．
∴当t=（3$±\sqrt{2}$）秒时，线段B′D=$\sqrt{5}$．