Question

17．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA的面积最大，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出点D在平行于AC并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点D的坐标；
（3）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）（x-1），
∵点C（0，-2）在抛物线上，
∴-4×（-1）a=-2，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）如图，

当点D在抛物线上，且使△DCA的面积最大，
必有平行于直线AC的直线DE，且和抛物线只有一个交点；
∵A（4，0），C（0，-2），
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设直线DE解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b①，
∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2②；
联立①②化简得，x²-4x+4+2b=0，
∴△=16-4（4+2b）=0，
∴b=0，
∴x²-4x+4=0，
∴x=2，
∴D（2，1）
（3）如图1，

过点P作PM⊥OA，
A（4，0），C（0，-2），
∴OA=4，OC=2，
∴$\frac{OA}{OC}=2$，
设点P（p，h）
∴AM=|4-p|．PM=|h|，h=-$\frac{1}{2}$p²+$\frac{5}{2}$p-2③，
∵∠APM=∠AOB=90°，
∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
∴①$\frac{PM}{AM}$=$\frac{OA}{OC}$=2，
∴$\frac{|h|}{|4-p|}=2$④，
联立③④解得，$\left\{\begin{array}{l}{p=-3}\\{h=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=5}\\{h=2}\end{array}\right.$
∴P（-3，10）或（5，2）
②$\frac{PM}{AM}=\frac{OC}{OA}\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|h|}{|4-p|}=\frac{1}{2}$⑤
联立③⑤解得，$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{h=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=0}\\{h=-2}\end{array}\right.$
∴P（2，5）或（0，-2）
综上，得到点P（-3，10）或（5，2）或（2，5）或（0，-2）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的关键是求出点D的坐标，分类讨论是解本题的难点．