Question

19．如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． 4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 4-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．

解答 解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB′=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴DE=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴阴影部分的面积=2×2-2×（$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．