Question

4．如图，点A、B分别在双曲线$y=\frac{1}{x}（x＞0）$，$y=-\frac{4}{x}（x＞0）$上，且OA⊥OB，则$\frac{OB}{OA}$的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义，得出S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△BOD=2，然后证得△AOC∽△OBD，根据相似三角形面积的比电影相似比的平方，即可求得$\frac{OB}{OA}$的值．

解答 解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
根据反比例函数系数的意义，S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△BOD=2，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
∵∠ACO=∠ODB=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴（$\frac{OB}{OA}$）²=$\frac{{S}_{△BOD}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4，
∴$\frac{OB}{OA}$=2，
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义的应用是本题的关键．