Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）若AC=3cm，则BE=6$\sqrt{2}$cm．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE；根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AD=BE．

解答 （1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE
（2）若AC=BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$cm，
∵AD=BE，
∵DB=AB=3$\sqrt{2}$cm，
∴BE=2×3$\sqrt{2}$cm=6$\sqrt{2}$cm．
故答案为：6$\sqrt{2}$

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．