Question

11．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为10m，20m的梯形空地种植花木．
（1）如图，他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的花卉，有玫瑰花和茉莉花和太阳花三种供选，单价分别为12元/m²，10元/m²，8元/m²，怎样安排栽种面积？请你作出决策．

Answer 1

分析 （1）证明△AMD∽△BMC，利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△AMD}}{{S}_{△BMC}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，于是得到种满△BMC地带所需的费用为△AMD地带种植费用的4倍；
（2）先计算出S_△AMD=20（m²），则S_△BMC=80，再根据相似三角形的性质得$\frac{DM}{CM}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，所以S_△ACM=S_△BDM=2S_△AMD=40，然后分别讨论，使总费用不超过1600元即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△AMD∽△BMC，
∴$\frac{{S}_{△AMD}}{{S}_{△BMC}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=（$\frac{10}{20}$）²=$\frac{1}{4}$，
即S_△BMC=4S_△AMD，
∵△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，
∴种满△BMC地带所需的费用=4×160=640（元）；
（2）∵种太阳花的单价为8元/m²，而△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，
∴S_△AMD=$\frac{160}{8}$=20（m²），
∴S_△BMC=80，
∵△AMD∽△BMC，
∴$\frac{DM}{CM}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ACM=S_△BDM=2S_△AMD=40，
当△ACM和△BDM都种玫瑰花，则费用为12×（40+40）=960，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640=800（元），此时960+800＞1600；
当△ACM和△BDM都种茉莉花，则费用为10×（40+40）=800，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640=800（元），此时800+800=1600；
当△ACM和△BDM都种太阳花，则费用为8×（40+40）=640，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640=800（元），此时640+800＜1600；
当△ACM种玫瑰花和△BDM种太阳花，则费用为12×40+8×40=800，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640=800（元），此时800+800=1600；
当△ACM种玫瑰花和△BDM都种茉莉花，则费用为12×40+10×40=880，而△BMC和△AMD种花的费用为160+640=800（元），此时880+800＞1600；
所以可以这样安排：方案一：△AMD和△BMC地带上种植太阳花后，△ACM和△BDM都种茉莉花；方案二：：△AMD和△BMC地带上种植太阳花后，△ACM和△BDM都种太阳花；方案三：△ACM种玫瑰花和△BDM种太阳花．

点评 本题考查了相似三角形的应用：先构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和相似三角形面积的比等于相似比进行计算．