Question

4．如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l₁的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l₂上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l₁、l₂之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为（50-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$）m．

Answer 1

分析 如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．

解答 解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．
则AB=MN，AM=BN．
在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，
∴CM=AM=50m．
∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，
∴CN=$\frac{BN}{tan60°}$=$\frac{50}{\sqrt{3}}$=$\frac{50\sqrt{3}}{3}$（m），
∴MN=CM-CN=50-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$（m）．
则AB=MN=（50-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$）m．
故答案是：（50-$\frac{50\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．