题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
(2)x为何值时y的值最大？
(3)x在哪个范围取值时y的值随x的增大而减小？
【答案】（1）y=
；（2）
；（3）
【解析】
试题（1）当点D保持在AC上时，正方形与△ABC重叠部分为直角梯形DEBF，根据直角梯形的面积公式，只需用含x的代数式分别表示出上底DE、下底BF及高DF的长度即可．由△ADF为等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；则AD=
x，下底BF=AB-AF=1-x；进而得出CD=AC-AD=1-x，再根据等腰三角形及平行线的性质可证∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-x；根据点D保持在AC上，且D不与A重合，可知0＜AD≤1，从而求出自变量x的取值范围；
（2）由（1）知，y是x的二次函数，根据二次函数的性质，可知当x=-
时，y的值最大；
（3）根据二次函数的增减性，当a＜0时，在对称轴x=-的右侧，y的值随x的增大而减小．
试题解析：解：（1）∵
∴
∵ DE∥AB
∴
∴
∴
在Rt△ADF中，
∵
∴
∴
∴
∴
（2）当
时，
有最大值
（3）当时，随
的增大而减小．
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