Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．

（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5s，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；

（2）在（1）的条件下，当t为何值时？以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形；

（3）若G、H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，分别从A、C开始，与E．F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；（3）t为秒时，四边形EGFH是菱形．

【解析】

（1）根据勾股定理求出AC，证明△AFG≌△CEH，根据全等三角形的性质得到GF=HE，利用内错角相等得GF∥HE，根据平行四边形的判定可得结论；

（2）如图1，连接GH，分AC-AE-CF=8．AE+CF-AC=8两种情况，列方程计算即可；

（3）连接AG．CH，判定四边形AGCH是菱形，得到AG=CG，根据勾股定理求出BG，得到AB+BG的长，根据题意解答．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠BAC=∠DCA，

∵AB=6cm，BC=8cm，

∴AC=10cm，

∵G、H分别是AB、DC的中点，

∴AG=AB，CH=CD，

∴AG=CH，

∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，

∴AE=CF，

∴AF=CE，

∴△AGF≌△CHE（SAS），

∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，

∴GF∥HE，

∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；

（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，

∵G、H分别是AB．DC的中点，

∴GH=BC=8cm，

∴当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：

①若AE=CF=2t，则EF=10-4t=8，解得：t=0.5，

②若AE=CF=2t，则EF=2t+2t-10=8，解得：t=4.5，

即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；

（3）如图2，连接AG、CH，

∵四边形GEHF是菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

∵AF=CE

∴OA=OC，

∴四边形AGCH是菱形，

∴AG=CG，

设AG=CG=x，则BG=8-x，

由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，

即62+（8-x）2=x2，解得：x=，

∴BG=8-=，

∴AB+BG=6+=，

t=÷2=，

即t为秒时，四边形EGFH是菱形．