Question

19．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．
（2）若∠ABC=120°，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE=2时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
②当BE=4时，四边形BECD是菱形．

Answer 1

分析 （1）先证明△EBF≌△DCF，可得DC=BE，可证四边形BECD是平行四边形；
（2）①根据四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，再由∠ABC=120°可得∠ECB=30°，再根据直角三角形的性质可得BE=2；
②根据四边形BECD是菱形可得BE=EC，再由∠ABC=120°，可得∠CBE=60°，进而可得△CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠FEB}\\{∠DCF=∠EBF}\\{FC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC=BE，
∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：①BE=2；
∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2，
故答案为：2；

②BE=4，
∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=4．
故答案为：4．

点评 此题主要考查了菱形和矩形的性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角．