Question

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解答 解：（1）将B、C两点的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}9+3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$．
所以二次函数的表达式为y=-x²+2x+3；
（2）如图，
，
存在点P，使四边形POP′C为菱形．
设P点坐标为（x，-x²+2x+3），
PP′交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC=PO．
连接PP则PE⊥CO于E．
∴OE=CE=$\frac{3}{2}$，
∴y=$\frac{3}{2}$．
∴$-{x^2}+2x+3=\frac{3}{2}$
解得x₁=$\frac{{2+\sqrt{10}}}{2}$，x₂=$\frac{{2-\sqrt{10}}}{2}$（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为$（\frac{{2+\sqrt{10}}}{2}，\frac{3}{2}）$．
（3）如图1，
，
过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，-x²+2x+3）
易得，直线BC的解析式为y=-x+3．
则Q点的坐标为（x，-x+3）．
PQ=-x²+3x．
S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$QP•BF+$\frac{1}{2}$QP•OF
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
当$x=\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为$（{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}）$，四边形ABPC面积的最大值为$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用零星的性质得出P点的纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．