Question

18．如图，等边△ABC的边长为1，在边AB上有一点P，Q为BC延长线上的一点，且CQ=PA，过点P作PE⊥AC于点E，连接PQ交AC于点D，则DE的长为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 过P作BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=$\frac{1}{2}$AC，即可推出ED的长度．

解答 解：过P做BC的平行线至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等边△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠Q}\\{∠PDF=∠QDC}\\{PF=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．