题目内容
2．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动．过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）在运动过程中，△DEF能否为以DE为腰的等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由．
（2）以E为圆心，EF长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙E与边AC有1个公共点？
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，请直接写出在整个运动过程中，线段MN所扫过的图形的面积．
分析 （1）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；
（2）过点E作EH⊥AC于H，过点A作AG⊥BC于G，根据三角形相似即可求得结果．
（3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得?PQST的面积即为MN所扫过的面积．
解答 解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=$\frac{5}{8}$（t+4）（cm）；
分三种情况讨论：
①如图1，∵当DF=EF时，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴点B与点D重合，
∴t=0；
②如图2，当DE=EF时，
则4=$\frac{5}{8}$（t+4），
解得：t=$\frac{12}{5}$；
③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，
即 $\frac{4}{10}$=$\frac{\frac{5}{8}（t+4）}{16}$，
解得：t=$\frac{156}{25}$；
综上所述，当t=0、$\frac{12}{5}$或 $\frac{156}{25}$秒时，△DEF为等腰三角形；
（2）如图4，过点E作EH⊥AC于H，过点A作AG⊥BC于G，
∵⊙E与边AC有1个公共点，
∴⊙E与AC相切，
∴EH=EF，
由（1）求得BE=（t+4），EF=$\frac{5}{8}$（t+4），
∴EH═$\frac{5}{8}$（t+4），CE=12-t，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴AG=6，
∵∠C=∠C，∠AGC=∠EHC=90°，
∴△AGC△EHC，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AG}{EH}$，
∴$\frac{10}{12-t}$=$\frac{6}{\frac{5}{8}（t+4）}$，
∴t=$\frac{188}{49}$，
∴t为$\frac{188}{49}$时，⊙E与边AC有1个公共点；
（3）如图5，设P是AC的中点，连接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴$\frac{EF}{AC}$ $\frac{BE}{BC}$=，
∴$\frac{EN}{CP}$=$\frac{BE}{BC}$．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴点B，N，P共线，
∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图6，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
∵M、N分别是DF、EF的中点，
∴MN∥DE，且ST=MN=$\frac{1}{2}$DE=2．
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
∵当t=0时，EF=$\frac{5}{8}$（0+4）=$\frac{5}{2}$，TK=$\frac{1}{2}$EFsin∠DEF=$\frac{1}{2}$$•\frac{5}{2}$$•\frac{3}{2}$=$\frac{15}{8}$，
当t=12时，EF=AC=10，PL=$\frac{1}{2}$AC•sin∠C=$\frac{1}{2}$•10•$\frac{3}{5}$=3，
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{8}$，
∴S平行四边形PQST=ST•PR=2×$\frac{9}{8}$=$\frac{9}{4}$，
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为$\frac{9}{4}$cm2．
点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、平行四边形的性质以及矩形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AC上，线段DB绕点D顺时针旋转，端点B恰巧落在边AB上的点E处．如果$\frac{AE}{EB}$=y，$\frac{AD}{DC}$=x．那么y与x满足的关系式是：y=$\frac{x-1}{2}$（用含x的代数式表示y）．
如图，E和F分别是边AB和AC中点，D是BC边上一点，若∠AED=∠AFD，请问四边形AEDF是平行四边形吗？为什么？
如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则△AMO的面积为9．
如图，已知A1（1，0），A2（1，-1），A3（-1，-1），A4（-1，1），A5（2，1），…，则点A2014的坐标是（504，-504）．
如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2015次相遇地点的坐标是（ ）
如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，设以AP为边长的正方形ACDP的面积为S1，以BF，AB的长为邻边的矩形AEFB的面积为S2，BF=PB，试问S1与S2有何关系？