Question

【题目】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．

（1）如图①，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．求证：a2＝b（b+c）

（2）如图②，在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且c＝7，b＝8，求a的长．

（3）若一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们则称这样的三角形为“倍角三角形”．问题（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图③，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a＝；（3）关系式a2＝b（b+c）仍然成立，见解析.

【解析】

（1）先证△ACB为直角三角形，知a＝c，b＝c，据此可得a2＝（c）2＝，b（b+c）＝c（c+c）＝，从而得出答案；

（2）延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD，证△CBD∽△DAB得，据此可得BD＝，由∠C＝∠D知a＝BC＝BD＝；

（3）延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，证△ADC∽△CDB得，据此可得答案．

解：（1）证明：∵∠A＝2∠B＝60°，

∴∠B＝30°，

则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，

∴△ACB为直角三角形，

在Rt△ACB中a＝c，b＝c，

所以a2＝（c）2＝，b（b+c）＝c（c+c）＝，

所以a2＝b（b+c）；

（2）如图1，延长CA至点D，使AD＝AB，连接BD，

则∠D＝∠ABD＝∠CAB＝∠C，

∴△CBD∽△DAB，

∴，

∴BD2＝ABCD＝7×（8+7）＝105，

∴BD＝，

又∠C＝∠D，

∴a＝BC＝BD＝

（3）对于任意的倍角△ABC，∠A＝2∠B，关系式a2＝b（b+c）仍然成立，

如图2，延长BA至D，使AD＝AC＝b，连结CD，

则∠CAB＝2∠D，

∴∠B＝∠D，BC＝CD＝a，

∴△ADC∽△CDB

∴，

即．

所以a2＝b（b+c）．