题目内容

【题目】如图,在半⊙中,是直径,点是⊙上一点,点的中点,于点,过点的切线交的延长线于点,连接,分别交于点,连接,关于下列结论:①;②;③点的外心;④,其中结论正确的是____

【答案】①②③④

【解析】

逐一进行判断,在半⊙,是直径,得出∠ACB=90°OA=OC=OD=OB,CAO=ACO,∠OCB=CBO,∠DOA=ADO,∠AOC=COD=BOD,再由垂径定理判定OCAD,又由对顶角相等,得出DQAC,进而得出OD⊥BC,得出正确;又因为,即∠DAB+∠APE=90°∠APE和∠GPD是对顶角,得出∠GDA=∠GPD,进而得出,②结论正确;在RtAPE中,OC⊥AD,∠APE和∠CPQ是对顶角,可知∠PAE=∠OCE,∠PAC=∠ACP,进而得出AP=CP,又根据∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°,∠BCO=∠CBO,得出∠CQA=∠BCE,得出PC=PQ,判定AP=PQ=CP,从而得出点的外心,③结论正确;由∠BCE=∠CAB,∠PAC=∠ABC,判定Rt△ACQ和Rt△ABC相似,根据其性质,即可得出,④结论正确.

解:连接OCOD,如图所示,

∵在半⊙,是直径,是⊙上一点,的中点,

∴∠ACB=90°,OA=OC=OD=OB,

∴∠CAO=∠ACO,∠OCB=∠CBO,∠DOA=∠ADO,∠AOC=∠COD=∠BOD

∵在半⊙中,AD和BC为弦,

∴OC⊥AD,

又∵∠CAQ+∠CQA=∠ADO+∠DQB,

∠CQA=∠DQB(对顶角相等)

∴∠CAD=∠ADO

∴DQ∥AC,

∴OD⊥BC

∴∠ABC=∠ADO=∠DAB,①结论正确;

又∵,即∠DAB+∠APE=90°

∠APE和∠GPD是对顶角

∴∠GDA=∠GPD

,②结论正确;

在RtAPE中,OC⊥AD,∠APE和∠CPQ是对顶角,

∴∠PAE=∠OCE

∴∠PAC=∠ACP

∴AP=CP

又∵∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°

∠BCO=∠CBO

∴∠CQA=∠BCE

∴PC=PQ

∴AP=PQ=CP

∴点的外心,③结论正确;

又∵∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAB=∠CAQ+∠CQA

∠PAC=∠ACP

∴∠BCE=∠CAB,∠PAC=∠ABC

∴Rt△ACQ∽Rt△ACB

,④结论正确.

故答案是①②③④.

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