题目内容
【题目】如图,在半⊙中,
是直径,点
是⊙
上一点,点
是
的中点,
于点
,过点
的切线交
的延长线于点
,连接
,分别交
于点
,连接
,关于下列结论:①
;②
;③点
是
的外心;④
,其中结论正确的是____.
【答案】①②③④
【解析】
逐一进行判断,在半⊙中,
是直径,得出∠ACB=90°,OA=OC=OD=OB, ∠CAO=∠ACO,∠OCB=∠CBO,∠DOA=∠ADO,∠AOC=∠COD=∠BOD,再由垂径定理判定OC⊥AD,又由对顶角相等,得出DQ∥AC,进而得出OD⊥BC,得出
,①正确;又因为
,即∠DAB+∠APE=90°∠APE和∠GPD是对顶角,得出∠GDA=∠GPD,进而得出
,②结论正确;在RtAPE中,OC⊥AD,∠APE和∠CPQ是对顶角,可知∠PAE=∠OCE,∠PAC=∠ACP,进而得出AP=CP,又根据∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°,∠BCO=∠CBO,得出∠CQA=∠BCE,得出PC=PQ,判定AP=PQ=CP,从而得出点
是
的外心,③结论正确;由∠BCE=∠CAB,∠PAC=∠ABC,判定Rt△ACQ和Rt△ABC相似,根据其性质,即可得出
,④结论正确.
解:连接OC、OD,如图所示,
∵在半⊙中,
是直径,点
是⊙
上一点,点
是
的中点,
∴∠ACB=90°,OA=OC=OD=OB,
∴∠CAO=∠ACO,∠OCB=∠CBO,∠DOA=∠ADO,∠AOC=∠COD=∠BOD
∵在半⊙中,AD和BC为弦,
∴OC⊥AD,
又∵∠CAQ+∠CQA=∠ADO+∠DQB,
∠CQA=∠DQB(对顶角相等)
∴∠CAD=∠ADO
∴DQ∥AC,
∴OD⊥BC
∴∠ABC=∠ADO=∠DAB,①结论正确;
又∵,即∠DAB+∠APE=90°
∠APE和∠GPD是对顶角
∴∠GDA=∠GPD
∴,②结论正确;
在RtAPE中,OC⊥AD,∠APE和∠CPQ是对顶角,
∴∠PAE=∠OCE
∴∠PAC=∠ACP
∴AP=CP
又∵∠BCO+∠CQA=∠CBO+∠BCE=90°
∠BCO=∠CBO
∴∠CQA=∠BCE
∴PC=PQ
∴AP=PQ=CP
∴点是
的外心,③结论正确;
又∵∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAB=∠CAQ+∠CQA
∠PAC=∠ACP
∴∠BCE=∠CAB,∠PAC=∠ABC
∴Rt△ACQ∽Rt△ACB
∴
即,④结论正确.
故答案是①②③④.

【题目】“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员,学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛,成绩如下表:
成绩/分 | 7 | 8 | 9 | 10 |
人数/人 | 2 | 5 | 4 | 4 |
(1)这组数据的众数是多少,中位数是多少.
(2)已知获得2018年四川省南充市的选手中,七、八、九年级分别有1人、2人、1人,学校准备从中随机抽取两人领操,求恰好抽到八年级两名领操员的概率.