题目内容
15．已知抛物线L：y=ax2+bx+c与抛物线L′：y=x2-2mx+4m+1关于直线x=2对称，且L′交y轴于点P（0，21），则方程ax2+bx+c=0的两个根为（ ）| A． | x1=0，x2=3 | B． | x1=1，x2=-3 | C． | x1=3，x2=7 | D． | x1=-7，x2=-3 |
分析 由抛物线L′：y=x2-2mx+4m+1交y轴于点P（0，21）知4m+1=21，求得m即可抛物线L′的解析式，求出其与x轴的交点，根据两抛物线关于x=2对称得出答案．
解答 解：∵抛物线L′：y=x2-2mx+4m+1交y轴于点P（0，21），
∴4m+1=21，
解得：m=5，
∴抛物线L′解析式为：y=x2-10x+21，
当y=0时，x2-10x+21=0，
解得：x=3或x=7，
即抛物线L′与x轴的交点为（3，0）、（7，0），
∵抛物线L：y=ax2+bx+c与抛物线L′：y=x2-2mx+4m+1关于直线x=2对称，
∴抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（1，0）、（-3，0），
即方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=-3，
故选：C．
点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，根据题意求出抛物线L′的解析式及其与x轴的交点是解题的关键．
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如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．
如图，直线1与⊙O相切于点A，点P在直线1上，直线PO交⊙O于点B、C，OD⊥AB，垂足为D，交PA于点E．
如图，正方形ABCD的边长为13，以CD为斜边向外作Rt△CDE．若点A到CE的距离为17，则CE=12或5．
4．
佳佳向探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为x2-2x-3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象．
（1）直接写出m的值，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为-2，或-1或1；
（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．
佳佳向探究一元三次方程x3+2x2-x-2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），交点的横坐标-1和3即为x2-2x-3=0的解．根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2-x-2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2-x-2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2-x-2的图象，通过描点法画出函数的图象．
| x | … | -3 | -$\frac{5}{2}$ | -2 | -$\frac{3}{2}$ | -1 | -$\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 1 | $\frac{3}{2}$ | 2 | … |
| y | … | -8 | -$\frac{21}{8}$ | 0 | $\frac{5}{8}$ | m | -$\frac{9}{8}$ | -2 | -$\frac{15}{8}$ | 0 | $\frac{35}{8}$ | 12 | … |
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为-2，或-1或1；
（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．
5．
定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=$\frac{1}{2}$x2的解为（ ）
定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[-1.4]=-2，[-3]=-3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=$\frac{1}{2}$x2的解为（ ）| A． | 0或$\sqrt{2}$ | B． | 0或2 | C． | 1或$-\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$ |