如图.在平面直角坐标系中.矩形OABC的顶点A.C分别在x轴.y轴的正半轴上.且OA=4.OC=3.若抛物线经过O.A两点.且顶点在BC边上.对称轴交BE于点F.点D.E的坐标分别为．(1)求抛物线的解析式,(2)猜想△EDB的形状并加以证明,(3)点M在对称轴右侧的抛物线上.点N在x轴上.请问是否存在以点A.F.M.N为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出所有符合条件的点M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想△EDB的形状并加以证明；
（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．

解答解：
（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线顶点坐标为（2，3），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）²+3，
把A点坐标代入可得0=a（4-2）²+3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，即y=-$\frac{3}{4}$x²+3x；
（2）△EDB为等腰直角三角形．
证明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE²=3²+1²=10，BD²=（4-3）²+3²=10，BE²=4²+（3-1）²=20，
∴DE²+BD²=BE²，且DE=BD，
∴△EDB为等腰直角三角形；
（3）存在．理由如下：
设直线BE解析式为y=kx+b，
把B、E坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3=4k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线BE解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
当x=2时，y=2，
∴F（2，2），
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或-2，
在y=-$\frac{3}{4}$x²+3x中，令y=2可得2=-$\frac{3}{4}$x²+3x，解得x=$\frac{6±2\sqrt{3}}{3}$，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，
∴M点坐标为（$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，2）；
在y=-$\frac{3}{4}$x²+3x中，令y=-2可得-2=-$\frac{3}{4}$x²+3x，解得x=$\frac{6±2\sqrt{15}}{3}$，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=$\frac{6+2\sqrt{15}}{3}$，
∴M点坐标为（$\frac{6+2\sqrt{15}}{3}$，-2）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
∵A（4，0），F（2，2），
∴线段AF的中点为（3，1），即平行四边形的对称中心为（3，1），
设M（t，-$\frac{3}{4}$t²+3t），N（x，0），
则-$\frac{3}{4}$t²+3t=2，解得t=$\frac{6±2\sqrt{3}}{3}$，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴t=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，
∴M点坐标为（$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$，2）或（$\frac{6+2\sqrt{15}}{3}$，-2）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得△EDB各边的长度是解题的关键，在（3）中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．