Question

如图，BD、CE为△ABC的两条内角平分线，K为ED的中点，KF⊥AB于F，KG⊥AC于G，KH⊥BC于H，求证：KF+KG=KH．

Answer 1

考点：角平分线的性质,三角形中位线定理,梯形中位线定理

专题：证明题

分析：过点D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，过点E作EP⊥BC于P，作EQ⊥AC于Q，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半表示出KF、KG，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，EP=EQ，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半证明即可．

解答：证明：如图，过点D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，过点E作EP⊥BC于P，作EQ⊥AC于Q，
∵K为ED的中点，KF⊥AB，KG⊥AC，
∴KF、KG分别是△EDN和△EDQ的中位线，
∴KF=2DN，KG=2EQ，
∵BD、CE为△ABC的两条内角平分线，
∴DM=DN，EP=EQ，
∴KF=2DM，KG=2EP，
∴KF+KG=2（DM+EP）
∵K为ED的中点，
∴KH是梯形EPMD的中位线，
∴KH=

1

2

（DM+EP），
∴KF+KG=KH．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，梯形的中位线等于两底和的一半，熟记定理并作出辅助线构造成三角形和梯形是解题的关键．