Question

4．已知方程mx²+（m-3）x-3=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实根．
（2）若方程的两根异号且都为整数，求满足条件的m的整数值．

Answer 1

分析 （1）计算△的表达式，得到完全平方式即可证明；
（2）根据求根公式求出方程的根，由方程的两根异号且都为整数，可求满足条件的m的整数值．

解答 （1）证明：由已知，m≠0，
△=（m-3）²-4×m×（-3）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
故方程总有两个实根．
（2）解：由（1）可得x=$\frac{-（m-3）±\sqrt{（m+3）^{2}}}{2m}$，
x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∵方程的两根异号且都为整数，
∴满足条件的m的整数值为1，3．

点评 本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．