Question

13．如图，?ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．
（2）填空：若AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，则①当AE=$\frac{7}{2}$时，四边形CEDF是矩形；②当AE=2时，四边形CEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要证明△FCG≌△EDG，可得FG=EG，结合CG=GD即可证明；
（2））①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°，易知CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$．由ED=CF=$\frac{3}{2}$，即可推出AE=AD-DE=$\frac{7}{2}$；
②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，推出DE=CD=AB=3，可得AE=AD-ED=5-3=2；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，∠CFG=∠DEG，又CG=DG．
∴△FCG≌△EDG，
∴FG=EG．   
∴四边形CEDF是平行四边形．
（2）①如图四边形CEDF是矩形时，在Rt△CDF中，CD=AB=3，∠DCF=60°，∠CFD=90°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$．
∵ED=CF=$\frac{3}{2}$，
∴AE=AD-DE=$\frac{7}{2}$


②如图四边形CEDF是菱形时，易知△CDF，△CDE都是等边三角形，
∴DE=CD=AB=3，
∴AE=AD-ED=5-3=2．

故答案为$\frac{7}{2}$，2．

点评 本题考查平行四边形的性质、矩形、菱形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．