Question

已知矩形ABCD中，点M是CD上一点，连接AM，作ME⊥AM交射线CB于点E．
①如图1，当CM=BC时，求证AM=ME；
②如图2，若MC：BC=4：3，求sin∠AEM；
③如图3，若AB=5，AD=2，点N是AE的中点，当CM=

 

时，线段MN有最小值．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据CM=BC证得△ADM≌△MCE后即可证得AM=ME；
（2）证得△ADM∽△MCE后即可得到EN：AM=MC：AD=4：3，然后根据∠AME=90°，得到EM：AM：AE=4：3：5，从而求得sin∠AEM的值；
（3）根据MN是直角三角形AME的斜边上的中线可以得MN=

1

2

AE，从而得到当AE最小时，MN最小，然后利用相似三角形列出比例式求得CM的值即可．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵BC=CM，
∴CM=AD，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
在△ADM与△MCE中，

∠CME=∠DAM AD=CM ∠D=∠C

，
∴△ADM≌△MCE（ASA），
∴AM=EM；

（2）解：在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵MC：BC=4：3，
∴MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴∠AMD+∠CME=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠CME=∠DAM，
∴△ADM∽△MCE，
∴EM：AM=MC：AD=4：3，
∵∠AME=90°，
∴EM：AM：AE=4：3：5，
∴sin∠AEM=

3

5

；

（3）解：∵∠AME=90°，N为AE的中点，
∴NM=

1

2

AE，
∴当AE最小时，MN最小，
∴当AE与AB重合时，AE最小，
∵∠D=∠C，∠AMD=∠MEC，
∴△ADM∽△MCE，
设MC=x，
∵AB=5，AD=2，
∴DM=5-x，
∴

2

x

=

5-x

2

解得x=1或4，
故答案为：1或4．

点评：本题考查了矩形的性质、相似及全等的判定与性质，考查的知识点比较多，难度较大．