Question

（1）如图（1），△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．
（2）在图（2）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，则∠CAE+∠BAC=90°，所以OA⊥AE，则可根据切线的判定定理得到AE与⊙O相切于点A；
（2）作直径AD，根据圆周角定理得到∠B=∠D，则可与（1）中的证明方法一样得到AE与⊙O相切于点A．

解答：证明：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A；
（2）AE还与⊙O相切于点A．理由如下：
作直径AD，如图2，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵∠B=∠D，
而∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE与⊙O相切于点A．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．