Question

14．如图，等边三角形ABC的边长为6cm，AD=AE=4cm，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△DEP，连接CP，则CP的长是2$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，DP交BC于F，由△ABC为等边三角形得到∠BAC=∠ACB=60°，AC=6，再利用AD=AE=4可判断△ADE为等边三角形，CD=2，则根据等边三角形的性质得∠ADE=60°，DE=AD=4，接着根据旋转的性质得∠EDP=60°，DP=DE=4，利用平角的定义可计算出∠PDC=60°，则可判断△DCF为等边三角形，得到∠3=60°，DF=CF=DC=2，所以PF=DP-DF=2，则FC=FP，所以∠1=∠2，然后计算出∠1=30°，于是得到∠PCD=90°，最后在Rt△PCD中利用勾股定理计算PC的长．

解答 解：如图，DP交BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=6，
∵AD=AE=4，
∴△ADE为等边三角形，CD=2，
∴∠ADE=60°，DE=AD=4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转60°，得到△DEP，
∴∠EDP=60°，DP=DE=4，
∴∠PDC=60°，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠3=60°，DF=CF=DC=2，
∴PF=DP-DF=4-2=2，
∴FC=FP，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠1+∠2，
∴∠1=30°，
∴∠PCD=60°+30°=90°，
在Rt△PCD中，PC=$\sqrt{D{P}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm）．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．