Question

4．（1）作△ABC的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）分别作BC和AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径作圆即可；
（2）如图2，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，则AD垂直平分BC，于是根据垂径定理的推论得到△ABC外接圆的圆心在AD上，接着利用勾股定理计算出AD=8，连结OB，设OA=OB=r，则OD=8-r，在Rt△OBD中利用勾股定理得到（8-r）²+6²=r²，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）如图1，⊙O为所作；

（2）如图2，

作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴AD垂直平分BC，
∴△ABC外接圆的圆心在AD上，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
连结OB，设OA=OB=r，则OD=8-r，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（8-r）²+6²=r²，
解得r=$\frac{25}{4}$，
即△ABC外接圆的半径为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆与外心．