Question

19．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与直线y=-x+6相交于第一象限A、B的两点．如图所示，过A、B两点分别作x、y轴的垂线，线段AC、BD相交与P，给出以下结论：①OA=OB；②四边形OCPD是正方形；③若k=5．则△ABP的面积是8；④P点一定在直线y=x上，其中正确命题的个数是几个（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①先求出直线y=-x+6与两坐标轴的交点坐标可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F两点关于直线y=x对称，再由反比例函数的图象关于直线y=x对称可知A、B两点关于直线y=x对称，故可得出y=x是线段AB的垂直平分线，由此即可得出结论；
②根据AM⊥y轴，BD⊥y轴，AC⊥x轴，BN⊥x轴可得出四边形ACOM与四边形BDON均是长方形，根据OA=OB可知AC=BD，故OC=OD，由此可得出结论；
③设A（x，$\frac{5}{x}$），则B（$\frac{5}{x}$，x），P（x，x），再由点A在直线y=-x+6上，求出x的值即可得出A点坐标，再由三角形的面积公式求解即可；
④根据点A、B关于直线y=x对称可知，OM=ON，再由AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴可知，四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，所以点P在直线y=x上．

解答 解：①∵令x=0，则y=6，令y=0，则x=6，
∴E（0，6），F（6，0），
∴E、F两点关于直线y=x对称，
∵反比例函数的图象关于直线y=x对称，
∴A、B两点关于直线y=x对称，
∴y=x是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，故①正确；
②∵AM⊥y轴，BD⊥y轴，AC⊥x轴，BN⊥x轴，
∴四边形ACOM与四边形BDON均是长方形．
∵OA=OB，A、B两点关于直线y=x对称，
∴AC=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCPD是正方形，故②正确；
③设A（x，$\frac{5}{x}$），则B（$\frac{5}{x}$，x），P（x，x），
∵点A在直线y=-x+6上，
∴-x+6=$\frac{5}{x}$，解得x₁=1，x₂=5，
∴A（1，5），B（5，1），
∴BP=AP=5-1=4，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AP=$\frac{1}{2}$×4×4=8，故③正确；
④∵点A、B关于直线y=x对称，
∴OM=ON，
∵AM⊥y轴，AC⊥x轴，BD⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形AMOC与四边形BDON均是矩形，
∵由②知AM=BN，
∴OC=OD，
∴AP=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P在直线y=x上，故④正确．
故选A．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数及一次函数图象上点的坐标特点、正方形的判定与性质及关于直线y=x对称的点的坐标特点是解答此题的关键．