Question

18．平面直角坐标系中有直线y=kx-k+4（k≠0），
（1）当k取不同的值时函数图象均不同，画出当k分别等于-$\frac{4}{3}$和2时的函数图象l₁和l₂．（画在同一直角坐标系中） 
（2）根据图象，写出你发现的一条结论．
（3）若点A为l₁与l₂的交点，l₁交x轴于点B，点C在y轴上，△ABC是等腰三角形，请确定点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把k=-$\frac{4}{3}$和k=2代入直线y=kx-k+4，化简即可；
（2）图象如图所示，图象恒过点A（1，4），
（3）先确定出点A，B的坐标，设出点C的坐标，表示出AC，BC，AB，再分三种情况建立方程求解即可．

解答 解：（1）当k=-$\frac{4}{3}$时，l₁：y=（-$\frac{4}{3}$）x+$\frac{4}{3}$+4=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
当k=2时，l₂：y=2x-2+4=2x+2，
（2）图象如图所示，

结论：图象是一条直线，图象过定点（1，4），
（3）由（1）有，l₁：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，l₂：y=2x+2
∵点A为l₁与l₂的交点，
∴A（1，4），
∵l₁交x轴于点B，
∴令y=0，-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，
∴x=4，
∴B（4，0），
∴AB²=25，
设点C（0，a），
∴AC²=（a-4）²+1，BC²=a²+16，
∵△ABC是等腰三角形
①当AB=AC时，
∴AB²=AC²，
∴（a-4）²+1=25，
∴a=4±2$\sqrt{6}$，
∴C₁（0，4+2$\sqrt{6}$），C₂（0，4-2$\sqrt{6}$），
②当BA=BC时，
∴AB²=BC²，
∴a²+16=25，
∴a=±3，
∴C₃（0，3），C₄（0，-3）
③当CA=CB时，
∴AC²=BC²，
∴（a-4）²+1=a²+16，
∴a=$\frac{1}{8}$，
∴C₅（0，$\frac{1}{8}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的画法，直线交点坐标的求法，等腰三角形的性质，分类思想是解本题的关键．