Question

3．如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，点P是FD的中点，连接PE、PC．
（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．

Answer 1

分析 （1）延长EP交DC于点G，由正方形的性质和已知条件可证明△PEF≌△PGD（AAS），进而可证明△CGE是等腰直角三角形，则CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，所以△CPE是等腰直角三角形．由等腰三角形的性质可得PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，问题得证；
（2）PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，延长EP交CD的延长线于点G，由（1）的证明思路即可证得．

解答 解：（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：
∵∠FEC=∠DCE=90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE=∠PDG，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE；
（2）PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，理由如下：如图（2）所示：
延长EP交CD的延长线于点G，
∵∠FEB+∠DCB=180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF=∠PGD，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE．

点评 本题考查了四边形的综合性题目，用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质是解题的关键．