Question

10．阅读下列材料，解答相应问题：
数学知识伴随着人类文明的起源而产生，人类祖先为我们留下了许多珍贵的原始资料，和古巴比伦楔形文字泥板书，古巴比伦泥板上记载了两种利用平方数表计算两数乘积的公式：
ab=$\frac{1}{4}$[（a+b）²-（a-b）²]…①
ab=$\frac{1}{2}$[（a+b）²-a²-b²]…②
（1）补全材料中公式②中的空缺部分；
（2）验证材料中的公式①；
（3）当a+b=5，a-b=7时，利用公式①计算ab的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式将（a+b）²展开，留下含ab的项，即可得出结论；
（2）利用完全平方公式将（a+b）²和（a-b）²展开，合并同类项后即可得出公式右边=ab=公式左边，由此即可证出公式成立；
（3）将a+b=5，a-b=7代入公式①中，即可求出ab的值．

解答 解：（1）∵（a+b）²=a²+b²+2ab，
∴ab=$\frac{1}{2}$[（a+b）²-a²-b²]．
故答案为：-b²．
（2）公式①的右边=$\frac{1}{4}$[a²+b²+2ab-（a²+b²-2ab）]，
=$\frac{1}{4}$[a²+b²+2ab-a²-b²+2ab]，
=$\frac{1}{4}$×4ab，
=ab．
因为公式①的左边=ab，
所以公式①左边=右边，公式成立．
（3）把a+b=5，a-b=7代入公式①，
得：ab=$\frac{1}{4}$×（5²-7²），
=$\frac{1}{4}$×（-24），
=-6．

点评 本题考查了完全平方公式，解题的关键是：（1）根据完全平方公式的展开式将公式②补充完整；（2）利用完全平方公式的展开式将公式①的右边进行变形，从而得出结论成立；（3）套用公式①代入数据求值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握完全平方公式的应用是关键．