Question

6．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．

设DE=a，则D′E=a．
∵矩形ABCD有两条对称轴，
∴分两种情况考虑：
①当DM=CM时，
AN=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=AD′=5，
由勾股定理可知：
ND′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴MD′=MN-ND′=AD-ND′=2，EM=DM-DE=4-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即a²=（4-a）²+4，
解得：a=$\frac{5}{2}$；
②当MD′=ND′时，
MD′=ND′=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理可知：
AN=$\sqrt{AD{′}^{2}-ND{′}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴EM=DM-DE=AN-DE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即${a}^{2}=（\frac{5\sqrt{3}}{2}-a）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}$，
解得：a=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
综上知：DE=$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．