Question

10．设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB=AC，求证：F、D、E、G四点共圆．

Answer 1

分析 先判断出∠ADE=∠ABC+∠CAE，再结合∠AGF=∠ACB+∠CAE，得出∠ADE=∠AGF，即：∠EDF=∠EGF）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则可推出四个顶点共圆）．

解答 解：连接EF，CD，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE，
∵∠ADC=∠ABC，∠CDE=∠CAE，
∴∠ADE=∠ABC+∠CAE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADE=∠ACB+∠CAE，
∵∠AGF=∠ACB+∠CAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和），
∴∠ADE=∠AGF，
∵∠ADE+∠EDF=180°，∠AGF+∠FGE=180°，
∴∠EDF=∠EGF，
∴F、D、E、G四点共圆（共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则可推出四个顶点共圆）．

点评 此题是四点共圆，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，解本题的关键是判断出∠ADE=∠ACB+∠CAE，作出辅助线是本题的难点．