Question

5．等腰梯形ABCD既有内切圆，也有外接圆，其内切圆半径r=3cm，∠B=60°，则其外接圆半径R=2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据等腰梯形ABCD的内切圆计算出高EG和ED、CG的长，在等腰梯形ABCD的外接圆中连接半径，构建两个直角三角形，设QG=x，利用同圆的半径QD=QC，根据勾股定理列方程求出x的值，最后利用勾股定理求出外接圆的半径．

解答 解：如图1，设⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，与边AD、DC的切点分别为E、H，连接OE、OG、OD、OH，则OE⊥AD，OG⊥BC，OH⊥CD，
∴∠OED=∠OHD=90°，
∵AD∥BC，
∴E、O、G三点共线，∠ADC+∠C=180°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠ADC=120°，
∵OD=OD，OE=OH，
∴△OED≌△OHD，
∴∠ODE=∠ODH=60°，
∵OE=3，
∴ED=$\sqrt{3}$，
过D作DM⊥BC于M，则DM=EG=6，
在Rt△DMC中，∠C=60°，
∴MC=2$\sqrt{3}$，
∴GC=GM+MC=3$\sqrt{3}$，
如图2，⊙Q是等腰梯形ABCD的外接圆，由题意可知：Q在EG上，
连接QD、QC，
设QG=x，则QE=6-x，
由勾股定理得：（$\sqrt{3}$）²+（6-x）²=（3$\sqrt{3}$）²+x²，
解得：x=1，
∴QC=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
则等腰梯形ABCD的外接圆半径为2$\sqrt{7}$．

点评 本题既考查了等腰梯形的性质，也考查了多边形的外接圆和内切圆的性质；熟练掌握：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；并在60°的直角三角形，利用特殊的三角函数值求直角边和斜边的长．