Question

3．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和翻折变换的性质得到∠EBD=∠FDB，证明EB∥DF，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据菱形的性质和翻折变换的性质求出∠ABE=30°，根据直角三角形的性质求出AB=$\sqrt{3}$，根据菱形的面积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴∠EBD=∠FBD，
∵∠EBD=∠ABE，
∴∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∠ABC=90°，
∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、平行四边形的判定以及矩形和菱形的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．