Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）BG=CF；
（2）DG=CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）首先证出∠CAF=∠BCG，得到△BCG≌△CAF，由三角形性质得出BG=CF；
（2）连接AG，证明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再证出∠D=∠GAD，得出AG=DG，从而证出DG=CF．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC
∴△BCG≌△CAF，
∴BG=CF；
（2）连接AG，如图所示：
∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，
∴△ACG≌△BCG，
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°-∠GBA=90°-∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG．
∵由（1）BG=CF，
∴DG=CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．