Question

7．阅读下列简化过程
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{2}$-1
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$
…
从中找出化简的方法规律，然后解答下列问题
（1）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$
（2）设a=$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，b=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，c=$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，比较a，b，c的大小关系．

Answer 1

分析 （1）根据分母有理化，可得答案；
（2）根据分母有理化，实数的大小比较，可得答案．

解答 解：（1）原式=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}-\sqrt{3}$）+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=$\sqrt{2016}$-1
=12$\sqrt{14}$-1；
（2）a=$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
b=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，
c=$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$=$\sqrt{5}$+2，
由$\sqrt{2}$＜$\sqrt{3}$＜$\sqrt{5}$，得
a＜b＜c．

点评 本题考查了分母有理化，利用使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．