Question

16．如图，⊙O的直径为5，△ABC为⊙O的内接三角形，CD⊥AB于D，AC=2$\sqrt{6}$，求sin∠BCD的值．

Answer 1

分析 连接OA、OC，由于OM⊥AC，根据垂径定理易证得∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，而由圆周角定理可得∠CBD=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠COM，因此∠BCD=∠OCM，只需求得∠OCM的正弦值即可；在Rt△OCM中，由垂径定理可得CM，由勾股定理可求得OM，即可求出∠OCM，即∠BCD的正弦值，由此得解．

解答 解：连接OA、OC，作OM⊥AC，

∵OM⊥AC，
∴AM=CM=$\sqrt{6}$，∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵∠CBD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠CBD=∠COM，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=∠OCM，
在Rt△OCM中，OC=$\frac{5}{2}$，
OM=$\sqrt{O{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（{\sqrt{6}）}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠OCM=sin∠BCD=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{1}{5}$，
故答案为$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的综合应用能力，能够根据已知条件找到∠BCD=∠OCM，是解决问题的关键．