Question

8．在正方形ABCD内有一点P，且PA=2$\sqrt{2}$，PB=1，PD=$\sqrt{17}$，则正方形ABCD的边长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 把△APB绕点D逆时针旋转90°得到△AP′D，连接PP′，根据旋转的性质可知PA=AP′，DP′=PB，∠PAP′=90°，即可求出PP′的长，利用勾股定理的逆定理证明△PP′D是直角三角形，最后利用余弦定理求出AD的长．

解答 解：作图如右：
把△APB绕点D逆时针旋转90°得到△AP′D，连接PP′，
根据旋转的性质可知PA=AP′，DP′=PB，∠PAP′=90°，
即△PAP′为等腰直角三角形，
又知PA=2$\sqrt{2}$，
则PP′=4，
在△PP′D中，
P′D²=17，PP′²=16，P′D²=1，
则P′D²=PP′²+P′D²，
即△PP′D是直角三角形，
故∠DP′P=90°，
∠DP′A=135°，
在△DP′A中，DP′=1，AP′=2$\sqrt{2}$，
由余弦定理知：cos135°=$\frac{DP{′}^{2}+AP{′}^{2}-A{D}^{2}}{2DP′•AP′}$=$\frac{1+8-A{D}^{2}}{2×1×2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：AD=$\sqrt{13}$，
正方形ABCD的边长为$\sqrt{13}$，
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理、勾股定理逆定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．