Question

3．如图①，点A（0，a），B（b，0）分别为y轴正半轴，x轴正半轴上两点，点C为线段AB的中点，且a，b满足等式b=$\sqrt{a-\sqrt{5}}$+$\sqrt{\sqrt{5}-a}$+$\sqrt{5}$．
（1）求出A，B点的坐标并说明△AOB的形状；
（2）若∠ECF=90°且与y轴负半轴，x轴正半轴分别交于E，F两点，求OF-OE的值；
（3）如图②，若∠FCE=45°，交y轴正半轴于E点，交x轴负半轴于F点，若OF+EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，求F点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的非负性得：a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，表示出点A、B的坐标，并知道△AOB是等腰直角三角形；
（2）连接OC，如图1，证明△CBF≌△COE，得OE=BF，根据线段的差可得结论；
（3）作辅助线，构建三角形全等，分别证明△COF≌△CAG和△CEF≌△CEG，设EF=x，构建勾股定理列方程可得结论．

解答 解：（1）由题意得：a-$\sqrt{5}$=0，
a=$\sqrt{5}$，
∴b=$\sqrt{5}$，
∴A（0，$\sqrt{5}$），B（$\sqrt{5}$，0），
∴OA=OB=$\sqrt{5}$，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形；

（2）连接OC，如图1，
∵C是AB的中点，△AOB是等腰直角三角形，
∴OC=BC，OC⊥AB，∠COB=∠CBO=45°，
∴∠OCE+∠ECB=90°，
∵∠ECF=90°，
∴∠ECB+∠BCF=90°，
∴∠OCE=∠BCF，
∵∠EOC=90°+45°=135°，
∠CBF=180°-45°=135°，
∴∠EOC=∠CBF，
∴△CBF≌△COE，
∴OE=BF，
∴OF-OE=OF-BF=OB=$\sqrt{5}$；

（3）如图3，连接OC，过C作CG⊥CF，交y轴于G，
同理得：OC=AC，∠COF=∠CAG=135°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECG=∠ACE+∠FCO=45°，
即∠ACE+∠ACG=∠ACE+∠FCO，
∴∠ACG=∠FCO，
∴△COF≌△CAG，
∴OF=AG，CF=CG，
∵CE=CE，
∴△CEF≌△CEG，
∴EF=EG，
设EF=x，则EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，OE=x+$\sqrt{5}$-（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x）=2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由勾股定理得：（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x）²=x²+（2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得：x=$\frac{-\sqrt{5}±\sqrt{210}}{8}$，
∴OF=$\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{210}}{8}$，
∴F（$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{210}}{8}$，0）．

点评 本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理，本题第三问较难，恰当地作出辅助线构建全等三角形的关键．