Question

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径长为1的圆A与边AB交于点D、与边AC交于点E，联结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）若CE=2，BD=BC，求AB的值；
（2）过点D作DH⊥AC，若$\frac{EH}{DH}$=$\frac{1}{3}$，且CE=2，BP=5，求△BPD的面积．

Answer 1

分析 （1）设BD=BC=x，得出AB=1+x、AC=3，根据AB²=BC²+AC²可得（1+x）²=x²+3²可得答案；
（2）设EH=a，则DH=3a，Rt△DEH中根据勾股定理求得EH=$\frac{1}{5}$，从而得CH=$\frac{11}{5}$，作DG⊥BP得DG=CH=$\frac{11}{5}$，根据三角形面积公式可得答案．

解答 解：（1）设BD=BC=x，
∵AD=AE=1，CE=2，
∴AB=1+x，AC=AE+CE=3，
由AB²=BC²+AC²可得（1+x）²=x²+3²，
解得：x=4，
∴AB=5；

（2）设EH=a，则DH=3a，
∴AH=1-a，
∵DH⊥AC，
∴AD²=AH²+DH²，即1=（1-a）²+（3a）²，
解得：a=0（舍）或a=$\frac{1}{5}$，即EH=$\frac{1}{5}$，
∵CE=2，
∴CH=CE+EH=2+$\frac{1}{5}$=$\frac{11}{5}$，
过点D作DG⊥BP于点G，

∴四边形CHDG为矩形，
∴DG=CH=$\frac{11}{5}$，
则S_△BDP=$\frac{1}{2}$×BP×DG=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{11}{5}$=$\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查勾股定理和矩形的判定与性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理求得所需线段的长是解题的关键．