Question

9．（1）如图，若图中小正方形的边长为1，则△ABC的面积为$\frac{7}{2}$．
（2）反思（1）的解题过程，解决下面问题：
若2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}$，$\sqrt{25{a}^{2}+{b}^{2}}$（其中a，b均为正数） 是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据图形可知：△ABC的面积等于以3为边长的正方形面积与三个直角三角洲面积之差，代入数据即可得出结论；
（2）构造以5a为长、2b为宽的矩形，利用（1）的面积的求法，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．
（2）构造如图的矩形，
设每个单位矩形的长为b，宽为a，则：
AD=$\sqrt{9{a}^{2}+{b}^{2}}$，AC=2$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，BC=$\sqrt{25{a}^{2}+{b}^{2}}$．
则△ABC的面积等于大矩形面积与三个直角三角形面积之差，
故S_△ABC=5a×2b-$\frac{1}{2}$×3a×b-$\frac{1}{2}$×5a×b-$\frac{1}{2}$×2a×2b=4ab．

点评 本题考查了二次根式的应用以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用分割图形法求三角形面积；（2）构建矩形．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过构建矩形，利用分割图形法求不规则的图形的面积是关键．