Question

4．等腰△ABC中，AB=AC，AD是高，E是AD上的一点，过C点作AB的平行线交BE延长线于F
（1）求证：BE²=EG•EF；
（2）当E在AD的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论是否成立？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的特点推知BE=CE，可通过证△ECG和△EFC相似，根据相似三角形得出的对应成比例线段，由此证得结论；
（2）（1）中的结论仍成立，证明过程同上．

解答 （1）证明：如图1，∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，BE=CE．
∵CF∥AB，
∴∠CFG=∠ABF；
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠CFG=∠ACE=∠CFE，
∵∠CEG=∠FEC，
∴△ECG∽△EFC，
∴EC²=EG•EF，
∴BE²=EG•EF；

（2）解：（1）中的结论仍成立，理由如下：
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，BE=CE．
∴∠EBC=∠ECD，
∴∠ABE=∠ACE，
∵CF∥AB，
∴∠CFG=∠ABF；
∴∠CFG=∠ACE=∠CFE，
∵∠CEG=∠FEC，
∴△ECG∽△EFC，
∴EC²=EG•EF，
∴BE²=EG•EF．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和应用等知识，综合性强，难度较大．