Question

8．在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为84；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）依据S_ABC=S_ABH+S_△BHC可知$\frac{1}{2}BH•AE+\frac{1}{2}BH•CF=84$，然后将BH=x，AE=m，CF=n代入整理即可．

解答 解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12．
∵BC=14，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AD$=$\frac{1}{2}×14×12$=84．
故答案为：84．
（2）∵S_ABC=S_ABH+S_△BHC，
∴$\frac{1}{2}BH•AE+\frac{1}{2}BH•CF=84$．
∴xm+xn=168．
∴m+n=$\frac{168}{x}$
∵AD=12，DC=14-5=9，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．
∴（m+n）BH=AC•BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH值最大时，m+n有最小值．
∴当点H与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n=$\frac{168}{14}$=∵$\frac{1}{2}AC•BH=84$，
∴m+n=12．
∴m+n的最大值为15，最小值为12．

点评 本题主要考查的是三角形的面积、勾股定理的应用，依据S_ABC=S_ABH+S_△BHC得到m、n、x的关系式是解题的关键．