Question

9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1．
（1）求DC的长度；
（2）求DE²的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG=3；
（2）在Rt△DEC中根据勾股定理即可求解．

解答 （1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠DEB=180°，
∴∠ADE=90°，
∵G为AF的中点，
∴DG=AG，
∴∠DAF=∠ADG，
∴∠DGC=∠DAF+∠ADG=2∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACD=2∠ACB，
∴∠DGC=∠DCA，
∴DC=DG=3；

（2）解：∵在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DG=DC=3，CE=1，
∴由勾股定理得：DE²=3²-1²=8．

点评 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．