Question

7．一次函数y=kx+2的图象过点A（2，4），且与x轴相交于点B，若点P是坐标轴上一点，∠APB=90°，则点P的坐标为（2，0），（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根据已知条件，由于y=kx+2的图象过点A（2，4），将点A代入一次函数可得函数解析式；
该函数式与x轴交于点B，设B（x，0），再将其代入函数解析式，求得B点坐标；
P点在坐标轴上有两种可能，P点在x轴上或P点在y轴上，根据勾股定理可求出P点坐标．

解答 解：∵一次函数y=kx+2的图象过点A（2，4），
∴4=2k+2，
∴k=1，
∴一次函数解析式为y=x+2，
∵一次函数y=x+2与x轴交于B，
∴0=x+2，
∴x=-2，
∴B点坐标为（-2，0）；
P在坐标轴上分两种情况讨论：
①若p在x轴上，设点P为（x，0）如图一
∵∠APB=90°，
∴AP⊥x轴，
∴x=2，
点P坐标为（2，0）；
②若P在y轴上，设P（0，y），如图二、图三
∵∠APB=90°，
∴PB²+PA²=AB²，
∵PB²=（-2）²+y² PA²=2²+（y-4）² AB²=4²+4²，
∴（-2）²+y²+2²+（y-4）²=4²+4² 解得：y=2±$2\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）．
故答案为（2，0），（0，2+2$\sqrt{2}$），（0，2-2$\sqrt{2}$）

点评 本题考察了待定系数法求一次函数解析式，以及勾股定理的应用，要分类讨论点P在x轴上或P点在y轴上两种情况，关键是要正确运用勾股定理将△APB的三条边用坐标表示出来后再求解．