题目内容

2．如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．
（1）①线段AB的长为$\frac{4}{m}$．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．

分析 （1）①令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标；
②根据抛物线解析式确定出对称轴，和y轴交点坐标；
（2）先设出M点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点M的坐标，再用勾股定理计算即可．

解答 解：（1）①令y=0，则（mx-3）（mx+1）=0，
∴x=-$\frac{1}{m}$或x=$\frac{3}{m}$，
∴A（-$\frac{1}{m}$，0），B（$\frac{3}{m}$，0），
∴AB=$\frac{4}{m}$，
故答案为$\frac{4}{m}$；
②∵二次函数y=m2x2-2mx-3，
∴C（0，-3），对称轴l：x=$\frac{1}{m}$，
∴D（$\frac{2}{m}$，-3）
∵AB平分∠DAE，
∴点D关于x轴的对称点Q（$\frac{2}{m}$，3）在直线AE上，
∴直线AE的解析式为y=mx+1，
∵点E是抛物线和直线AE的交点，
∴E（$\frac{4}{m}$，5）．
（2）设M（x，m2x2-2mx-3），N（$\frac{1}{m}$，a）
∵A（-$\frac{1}{m}$，0），E（$\frac{4}{m}$，5）．
以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，
①以AE，MN为对角线时，
AE，MN的中点重合，
∴-$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{m}$=x+$\frac{1}{m}$，
∴x=$\frac{2}{m}$，
∴M（$\frac{2}{m}$，-3），
∵MA2+ME2=AE2，
∴$\frac{9}{{m}^{2}}$+9+$\frac{4}{{m}^{2}}$+64=$\frac{25}{{m}^{2}}$+25，
∴m=-$\frac{1}{2}$（舍），或m=$\frac{1}{2}$，
∴M（4，-3），
②以AN，ME为对角线时，
AN，ME的中点重合，
∴-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$=x+$\frac{4}{m}$，
∴x=-$\frac{4}{m}$，
∴M（-$\frac{4}{m}$，21），
∵AE2+AM2=ME2，
∴$\frac{25}{{m}^{2}}$+25+$\frac{9}{{m}^{2}}$+441=$\frac{64}{{m}^{2}}$+256，
∴m=-$\frac{1}{\sqrt{7}}$（舍）或m=$\frac{1}{\sqrt{7}}$
∴$M（-4\sqrt{7}，21）$，
③以AM，NE为对角线时，
∴AM，NE的中点重合，
∴x+（-$\frac{1}{m}$）=$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{m}$，
∴x=$\frac{6}{m}$，
∴M（$\frac{6}{m}$，21），
∵AE2+EM2=AM2，
∴$\frac{25}{{m}^{2}}$+25+$\frac{4}{{m}^{2}}$+256=$\frac{49}{{m}^{2}}$+441，此方程无解，
即：存在，M（4，-3）或$M（-4\sqrt{7}，21）$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线AB解析式．

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